Kedudukan Titik dan Garis Terhadap Lingkaran

Di tingkat SD sampai SMP, kamu sudah belajar mengenai lingkaran. Mulai dari mengenal berbagai macam bagian-bagian lingkaran, sampai dengan cara menghitung luas bangunnya. Pada lingkaran, terdapat yang namanya titik pusat dan juga jari-jari. Nah, ada yang masih inget nggak, pengertian dari keduanya?

Titik pusat merupakan suatu titik yang berada tepat di tengah lingkaran. Sementara itu, jari-jari lingkaran merupakan garis lurus yang menghubungkan titik pusat dengan satu titik pada garis lengkung lingkaran.

Pusat itu letaknya di tengah-tengah, sedangkan jari-jari merupakan garis yang menghubungkan titik pusat dengan tepi lingkaran. Sekarang, kakak ada beberapa pertanyaan, nih. Bagaimana jika terdapat satu titik yang terletak bukan di pusat lingkaran? Atau, bagaimana jika ada garis lurus pada lingkaran yang tidak kita ketahui dengan jelas, apakah garis itu memotong lingkaran atau bersinggungan dengan lingkaran?

Nah, pertanyaan-pertanyaan itulah yang akan kita bahas pada artikel kali ini, yaitu mengetahui kedudukan atau letak suatu titik dan garis lurus terhadap lingkaran. Oke, langsung saja kita simak pembahasannya berikut ini!

Kedudukan Titik terhadap Lingkaran

Kedudukan titik terhadap lingkaran terbagi menjadi tiga kondisi, yaitu titik terletak di dalam lingkaran, titik terletak di luar lingkaran, dan titik terletak pada garis lengkung lingkaran. Sebenarnya, letak titik pada lingkaran ini dapat kita ketahui dengan mudah apabila keduanya digambarkan pada bidang Kartesius. Tapi, cara itu kurang efektif karena memerlukan waktu yang cukup lama. Apalagi, jika digunakan di ujian nanti.

Eits, tenang aja! Ada cara lain yang bisa kita gunakan untuk mengetahui kedudukan titik-titik tersebut tanpa harus menggambarnya, yakni dengan menggunakan rumus persamaan lingkarannya sebagai berikut:

1.       Posisi titik P(x₁ , y₁) terhadap lingkaran x² + y² = r²

Ketentuan:

1)      P(x₁ , y₁) terletak di dalam lingkaran, jika berlaku  x₁²  + y₁² ˂ r²

2)      P(x₁ , y₁) terletak di dalam lingkaran, jika berlaku  x₁²  + y₁² = r²

3)      P(x₁ , y₁) terletak di dalam lingkaran, jika berlaku  x₁²  + y₁² > r²

Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut.

Contoh soal

Tentukan posisi titik-titik berikut terhadap lingkaran x² + y² = 25

a.       A(3 , 1)

b.       B(-3 , 4)

c.       C(5 , -6)

Penyelesaian:

a.       A(3 , 1)

Maka:

x² + y²   = 3² + 1² = 9 + 1 = 10

        = 10 < 25

Jadi A(3 , 1) terletak di dalam lingkaran x² + y² = 25

b.       B(-3 , 4)

x² + y²   = (-3)² + 4² = 9 + 16 = 25

        = 25 = 25

Jadi A(-3 , 4) terletak pada lingkaran x² + y² = 25

c.       C(5 , -6)

 x² + y²   = 5² +(-6)² = 25 + 36 = 61

        = 61 > 25

Jadi A(5 , -6) terletak di luar lingkaran x² + y² = 25

2.       Posisi titik P(x₁ , y₁) terhadap lingkaran (x – a)² + (y – b)² = r²

1)       P(x₁ , y₁) terletak di dalam lingkaran, jika berlaku  (x₁ – a)² + (y₁ – b)² ˂ r²

2)      P(x₁ , y₁) terletak di dalam lingkaran, jika berlaku  (x₁ – a)² + (y₁ – b)² = r²

3)      P(x₁ , y₁) terletak di dalam lingkaran, jika berlaku  (x₁ – a)² + (y₁ – b)² > r²

Coba perhatikan contoh soal berikut ini

Contoh

Tentukan posisi titik-titik berikut terhadap lingkaran x² + y²  – 6x + 8y = 0

a.       A(0, 0)

b.       B(2, 1)

c.       C(3, –2)

Penyelesaian

a)       A(0, 0)

 x² + y²  – 6x + 8y = 0² + 0² – 6.0 + 8.0

= 0 + 0 + 0 + 0 = 0

= 0 = 0

Jadi  titik A(0 , 0) terletak pada lingkaran x² + y²  – 6x + 8y = 0

 b)      B(2, 1)

x² + y²  – 6x + 8y = 2² + 1² – 6.2 + 8.1

= 4 + 1 – 12 + 8 = 1

= 1 > 0

Jadi  titik A(0 , 0) terletak di luar lingkaran x² + y²  – 6x + 8y = 0

c)       C(3, –2)

x² + y²  – 6x + 8y = 3² + (-2)² – 6.3 + 8.(-2)

= 9 + 4 – 18 – 16 = -21

= -21 < 0

Jadi  titik A(0 , 0) terletak di dalam lingkaran x² + y²  – 6x + 8y = 0

 

3.       Posisi garis y = mx + n terhadap suatu lingkaran

Jika Jika persamaan garis y = mx + n disubstitusikan ke persamaan lingkaran x² + y²  – 2Ax + 2By + C = 0 diperoleh persamaan :

x² + (mx + n)² +2Ax + 2B (mx + n) + C =  0

x² + m²x² + 2mnx + n² +2Ax + 2Bmx + 2Bn + C =  0

(1 + m²)x² + (2mn + 2A + 2Bm)x + (n² + 2Bn + C) =    0

D = (2mn + 2A + 2Bm)² – 4 (1 + m²) (n² + 2Bn + C) =    0

 

INGAAAAAT KEMBALI YA

Jika persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0,

D =  diskriminan  =  b² – 4ac

Jarak pusat lingkaran P(x₁, y₁) ke garis ax + by + c = 0 adalah :

 

Maka ada tiga kemungkinan posisi garis terhadap suatu lingkaran yaitu:

1)      Jika D < 0, maka persamaan garis y = mx + n terletak di luar lingkaran x² + y²  – 2Ax + 2By + C = 0, dan tidak memotong lingkaran atau jarak pusat lingkaran ke garis lebih dari jari-jari lingkaran (k > r).

2)      Jika D = 0, maka persamaan garis y = mx + n terletak pada lingkaran x² + y²  – 2Ax + 2By + C = 0 dan memotong lingkaran di satu titik atau jarak pusat lingkaran ke garis sama dengan jari-jari lingkaran (k = r).

3)      Jika D > 0, maka persamaan garis garis y = mx + n terletak di dalam lingkaran x² + y²  – 2Ax + 2By + C = 0, dan memotong lingkaran di dua titik atau jarak pusat lingkaran ke garis lebih kecil dari jari-jari lingkaran (k < r).

 

Perhatikan gambar berikut.

Untuk lebih memahami tentang posisi garis y = mx + n terhadap suatu lingkaran,

pelajarilah contoh soal berikut.

Contoh soal

Tentukan posisi titik A(6, –8) terhadap lingkaran:

1.       x² + y² = 100

2.       x² + y² – 6x + 8y + 25 = 0

3.       (x – 1)² + (y + 2)² = 64

Penyelesaian

1.       A(6, –8) disubstitusikan ke persamaan lingkaran x² + y² = 100 diperoleh

6² + (–8)² = 36 + 64 = 100

=100 = 100

Jadi A(6, –8) terletak pada lingkaran x² + y² = 100.

2.       A(6, –8) disubstitusikan ke persamaan lingkaran x² + y² – 6x + 8y + 25 = 0 diperoleh

=6² + (–8)² – 6 ⋅ 6 + 8 (–8) + 25  = 36 + 64 – 36 – 64 + 25 = 25

= 25 > 0

Jadi A(6, –8) terletak di luar lingkaran x² + y² – 6x + 8y + 25 = 0.

3.       A(6, –8) disubstitusikan ke persamaan lingkaran (x – 1)² + (y + 2)² = 64 diperoleh

=(6 – 1)² + (–8 + 2)²= 5² + (–6)² =  25 + 36 = 61

= 61 < 64

Jadi A(6, –8) terletak di dalam lingkaran (x – 1)² + (y + 2)² = 64

Pelajarilah pula contoh soal berikut ini.

Contoh soal

1. Tentukan posisi garis x – y + 1 = 0 terhadap lingkaran x² + y² = 25. Jika berpotongan,

tentukan titik potongnya.

Penyelesaian

x – y + 1 = 0   ⇒    y = x + 1  ….. (1)

x² + y² = 25   ……(2)

Dari persamaan (1) disubtitusikan ke persamaan (2):

x² + y² =  25

x² + (x + 1)²=  25

x² + x² + 2x + 1 =  25

x² + x² + 2x + 1 – 25 = 0

2x² + 2x – 24 = 0                (kedua ruas di bagi 2)

x² + x – 12 = 0

 

D =b² – 4ac

= 1² – 4 . 1 (-12)

= 1 + 48

= 49

= 49 > 0

Ternyata D > 0, sehingga garis x – y + 1 memotong lingkaran x² + y² =  25 di dua titik yang berbeda. Titik-titik potongnya adalah:

x² + x – 12 = 0

(x + 4) (x – 3) = 0

x + 4 = 0               atau       x – 3 = 0

x = –4                    atau       x = 3

Untuk x = –4 disubtitusikan ke persamaan:

y = x + 1   = –4 + 1

                    = –3   ⇒    (–4, –3)

Untuk x = 3 disubtitusikan ke persamaan:

y = x + 1  = 3 + 1

                   = 4   ⇒   (3, 4)

Jadi, titik potongnya adalah (–4, –3) dan (3, 4).

 

Location:

Share :